舉個簡單例子：一個二維平面應變問題，包含兩個彈性體，即圓筒和平板，如圖1所示。在圓筒中心的圓孔內壁上定義了固支邊界條件，在平板頂部中央的A點給定義了位移U2=-2，希望使平板向正下方移動，和圓筒發生接觸。提交分析后，計算可以完成，但在分析結果中看到平板發生了異常的位移，如圖2所示。這是什么原因引起的？

圖1 定義了位移邊界的模型

圖2 后處理時看到平板發生了異常的位移

     對于三維模型，每個部件都有3個平動自由度和3個轉動自由度；對于二維模型，每個部件都有2個平動自由度和1個轉動自由度。在建立靜力分析模型時，必須在模型每個實體的所有平動和轉動自由度上定義足夠的邊界條件，以避免它們出現不確定的剛體位移，否則將導致分析往往無法收斂，即使能夠收斂，結果也往往是錯誤的。

      本例中，圓筒上定義了固支邊界條件，不會出現剛體位移。但是平板在x方向上沒有定義任何邊界條件，因此在x方向上的剛體位移是不確定的；在y方向上，只在一個節點（A點）上給定了位移U2，這時整個平板仍然可以繞A點做剛體轉動，即除了A點之外，平板上的其他節點的U2都是不確定的。

     盡管整個模型并沒有使平板發生轉動或x方向平動的載荷，直觀感覺上此模型似乎是沒問題的，但這樣的模型符合有限元分析的要求。這種“因為沒有受力，所以不會移動”的因果關系，只是我們根據生活經驗在頭腦中進行邏輯分析時的思路，而Abaqus/Standard的求解過程恰恰與此相反，其過程是：迭代嘗試各種可能的位移狀態，檢驗它們是否能夠滿足靜力平衡方程。

     在本實例中，無論平板發生多大的轉動或x方向的平動，都可以滿足靜力平衡方程，即符合靜力平衡條件的位移解有無限個，因此會出現“數值奇異”。有限元是一種數值計算方法，計算過程中的微小數值誤差會導致平板在缺乏約束的自由度上發生剛體運動，因此會看到如圖2所示的異常結果。

解決方法：

• 本實例中的模型是左右對稱的，因此圓筒和平板都應該只取一半建模，在整個對稱面上定義對稱邊界條件，即U1=0，這樣平板就不會再發生轉動或在x方向上產生平動。需要注意的是，一個模型是否具有對稱性，不僅取決于它的幾何形狀，還要看材料、載荷、邊界條件和接觸等是否都是對稱的，即變形后的模型是否是對稱的。

  
  

• 如果模型不具有對稱性，就需要根據具體情況添加適當的邊界條件，以消除不確定的剛體位移。本實例中，可以在平板中央對稱線上定義邊界條件U1=0。需要注意的是，不能只定義A點的U1=0，因為這樣整個平板仍然可以繞A點做剛體轉動。
  

     同樣舉個簡單的例子：二維平板兩端受到均布拉力，如圖3a所示，如果直接對整個平板建模，沒有邊界條件，提交分析后，往往會出現“數值奇異”的警告信息。因為這時盡管整個平板處于靜力平衡狀態，但仍然會出現不確定的剛體位移，因為整個平板是懸浮在空中的，有無數種可能的位移狀態。

     一個更為合理的建模方法如圖3b所示，根據對稱性，只取1/4建模，在兩個對稱面上分別定義對稱邊界條件。這樣就能夠保證靜力平衡方程的位移解是唯一的，靜力分析才能夠收斂。

（a）二維平板兩端受拉

（b）根據對稱性取1/4建模

圖3

     建立一個模型之前，應該考慮的第一件事就是，這個模型是否具備對稱性，是否可以只取1/2、1/4甚至是1/8進行建模。這樣做有多方面的重要意義。

• 在對稱面上定義對稱邊界條件，有助于避免剛體位移問題；

  
  

• 可以大大減小模型的規模，縮短計算時間；

  
  

• 接觸面上的節點減少一半，接觸分析就更容易收斂；

  
  

• 施加了對稱邊界條件之后，整個模型的支承狀況變得更加穩固，可能出現的位移狀態大大減少，Abaqus/Standard不用再去反復嘗試那些不具備對稱性的位移解，這樣就更容易找到正確的位移解，會使復雜的非線性分析更容易收斂。

     對于動力分析，不需要在所有自由度上定義足夠的邊界條件，因為動力分析會考慮慣性力，可以避免產生無限大的瞬時運動。

     如果在動力分析時看到“數值奇異”的警告信息，往往是由于模型中存在其他問題，例如“過度塑性”等。

     如圖4所示，在圓筒中心的圓孔內壁上定義了固支邊界條件，在平板中央對稱線上定義了邊界條件U1=0，在平板頂部的A點施加了向下的點載荷，提交此模型分析后，同樣無法收斂。

圖4 定義了力載荷的模型

     盡管從直觀感覺上，這個模型似乎是沒有問題的。圓筒是固支的，不存在剛體位移問題。在x方向上，平板施加了約束同樣也沒有剛體位移問題；在y 方向上，平板受到向下的力，應該向下移動。與“因為沒有受力，所以不會移動”一樣，這個模型同樣也是不符合有限元分析的基本要求，因為力載荷并不能代替位移邊界條件的約束作用。靜力分析時，在每個增量步上都要滿足靜力平衡方程。在本例的初始狀態下，平板頂部受到向下的力，但底部還沒有和圓筒發生接觸，因此無法形成靜力平衡。若模型中只定義了位移邊界條件，而沒有施加力載荷（即外力為0），則模型是始終處于靜力平衡狀態的，可以很容易地達到收斂。由此可知，在建模時如果能夠指定位移（即施加位移載荷），就不要施加力載荷，這樣可以大大降低收斂的難度，這一技巧對于處理復雜的非線性問題尤其重要。

解決方法：

     在施加力載荷的分析步之前增加一個分析步，先不定義力載荷，而是在平板受到外力位置上定義一個臨時的位移邊界條件U2=-1.001，這樣會使平板和圓筒之間產生0.001的過盈量，可以保證二者的接觸關系充分建立起來。在下一個分析步再去掉這個臨時的邊界條件，施加力載荷。

     本實例中，運用了一個非常重要的有限元建模技巧：先利用位移邊界條件讓接觸關系平穩地建立起來，然后在下一個分析步中再施加力載荷。在其他的復雜非線性問題中，同樣可以運用上述技巧。例如，模型要在很大的載荷下發生大變形，很難收斂，這時可以先估計一下大致的位移量，在施加載荷的位置上定義相應的臨界位移邊界條件，讓模型運動到最終狀態的大致位置上，再在下一個分析步去掉這個臨時位移邊界條件，施加力載荷。這樣可以幫助求解器更容易地找到收斂的位移解。

     有限元接觸分析的重要建模技巧：

1. 接觸面的網格

      如果關心的是接觸區域的應力、應變和位移，則需要對相應位置進行網格細化，細化的區域應比發生接觸的區域略大一些。對于模型中的其他部分，則應劃分較粗的網格，如圖5所示。

圖5 在接觸區域劃分均勻的細化網格

     有限元網格劃分的一個重要原則：重要區域的網格必須細化，以提高計算精度，不重要區域的網格一定要粗一些，以節省計算時間。不假思索地為整個模型劃分均勻的網格，可能在視覺上比較好看，但是不必要的細化網格往往會造成計算時間大大增加。

2. 主面和從面

     有限元接觸分析網格劃分時，一般要求主面的網格不能比從面細，以免發生穿透。當主面和從面的網格密度相同時，計算結果的精度是最高的。另外，在定義接觸面時，如果是有限滑移，從面應該盡可能地小，不要包含那些不可能發生接觸的區域。應保證在整個分析過程中，從面各個部分始終處在主面的法線覆蓋范圍內。有限元接觸分析時的另一個重要原則是，盡量不要依靠摩擦來約束剛體的平動和轉動，而應該根據工程實際定義盡可能多的邊界條件。因為在分析剛開始時，各個接觸關系還沒有建立起來，摩擦力無法起到約束作用。

     有限元分析除了網格劃分之外，載荷、約束、邊界條件的設定技巧也是重點，需要基于產品模型，工況條件等具體情況具體分析，多做項目積累經驗，用盡可能少的計算資源得到盡可能精準的仿真分析結果。